En su óleo "Crucifixión", Salvador Dalí pintó un hipercubo.

oy recibí una invitación a una fiesta. Decía: Avenida Providencia, dpto. 264, el 12 de julio, a las 22 horas. Las fiestas de ese amigo son imperdibles, pero el error en la invitación me dificultaría llegar a ella. Faltaba la numeración sobre Providencia. La dirección tenía sólo 2 datos. Calle y piso. Pero para poder ubicarnos en el espacio, y encontrar un lugar, siempre necesitamos tres. En este caso, calle, número y piso; o en términos más precisos, latitud, longitud y altura.  Por eso decimos que el espacio tiene tres dimensiones. ¿Por qué tres?, ¿tiene algo de especial este número? Nadie sabe la respuesta.

Las dimensiones, las tres que conocemos y las que quizás aún no, son uno de los secretos mejor guardados de la naturaleza. Un misterio que los científicos han competido por descifrar, infructuosamente, por siglos. Para muchos, éste es un problema académico. Puramente teórico y sin posibilidades de exploración experimental. Sin embargo, la construcción del LHC (gran colisionador de hadrones) vino a cambiar las cosas. Hay excitación y esperanza en ciertos ambientes científicos con la posibilidad de penetrar, en colisiones de partículas a muy altas energías, nuevas dimensiones escondidas del espacio. Son especulaciones bastante audaces, pero implican una imagen espectacular de lo que podría ser nuestro universo. Quizás se necesiten más de tres números para llegar a algunas de sus mejores fiestas.

Planilandia no basta

Para hacernos una idea sobre la posibilidad de que existan otras dimensiones, es útil recordar un clásico de la literatura nerd: "Planilandia: una novela de muchas dimensiones". Escrita por el profesor y teólogo británico Edwin Abbott Abbott en 1884, allí se describe un mundo habitado por figuras dibujadas sobre una hoja de papel. Una sociedad fuertemente machista y estratificada. Las mujeres son líneas, y los hombres polígonos cuya alcurnia crece con su número de lados. Los sacerdotes, la jerarquía más alta, son círculos.

En esta sátira de la era victoriana, cualquier lugar queda caracterizado por tan sólo dos coordenadas, cada una de las cuales mide la distancia a lo largo de las direcciones en que pueden moverse los ciudadanos de Planilandia. Para ellos, imaginar una tercera dimensión espacial (hacia afuera de la hoja) es imposible. Sin embargo, el cuadrado protagonista vive una extraordinaria experiencia que le permite dilucidar la existencia de "espaciolandia": sucede cuando una esfera atraviesa la hoja bidimensional de Planilandia. Repentinamente el cuadrado vio un círculo dentro de su casa. Se había materializado espontáneamente allí. Había crecido desde un punto a un tamaño respetable, y luego había decrecido hasta desaparecer por completo. Por suerte, la esfera era sociable. Y conversando con ella, el cuadrado comprende lo que pasó. La esfera venía de otra dimensión, una que para él era muy difícil de concebir.  Había llegado desde "arriba" del plano, y en el momento que lo tocó, él vio ese pequeño punto. En la medida que la esfera fue cruzando el plano, el cuadrado pudo ver como la huella circular que quedaba impresa iba creciendo. En el momento en que la esfera quedó con precisamente una mitad a cada lado del plano, el tamaño del círculo que pudieron ver los planilandeses fue máximo. Luego la esfera continuó su viaje a lo largo de la tercera dimensión y el círculo se contrajo hasta desaparecer, justo en el instante en que la esfera atravesó completamente hacia "abajo" del plano.

Imaginar un espacio con sólo dos dimensiones es un ejercicio que no sólo han realizado los escritores. Las leyes de la naturaleza en un supuesto universo bidimensional son mucho más sencillas que las del nuestro, por lo que resultan modelos interesantes de explorar.

Pero imaginar un espacio con sólo dos dimensiones es un ejercicio que no sólo han realizado los escritores. Las leyes de la naturaleza en un supuesto universo bidimensional son mucho más sencillas que las del nuestro, por lo que resultan modelos interesantes de explorar. En uno de los trabajos más citados de la física chilena, Máximo Bañados, Claudio Bunster y Jorge Zanelli concibieron, en 1992, lo que sería un agujero negro en dos dimensiones espaciales.

¿Cuarta dimensión?

¿Podemos imaginar un espacio de cuatro dimensiones? Al igual que para los personajes de la novela de Abbott, es complejo para nosotros imaginar una cuarta dirección hacia "afuera" de nuestro universo. Pero podemos describirlo matemáticamente, razonando por analogía. Pensemos primero en dos dimensiones.  Allí, un cuadrado es la región delimitada por dos pares de líneas iguales. Cada par la limita a lo largo de cada una de las dos dimensiones espaciales. Pensemos ahora en nuestro espacio de tres dimensiones. Aquí las líneas no pueden acotar una región. Necesitamos superficies. Un cubo es el análogo del cuadrado bidimensional, y consiste en la región que encierran tres pares de cuadrados iguales. Ahora podemos aventurarnos a cuatro dimensiones espaciales. Allí necesitaríamos volúmenes de tres dimensiones para confinar una región. Un hipercubo corresponde a cuatro pares de cubos iguales que acotan el espacio a lo largo de cada una de las cuatro dimensiones. Podemos ver una representación artística de éste en el óleo Crucifixión (Corpus Hypercubus) que Dalí pintó en 1954.

Para entenderlo, recuerde esos cubos que recortábamos en una cartulina y luego plegábamos pegando sus bordes. Allí las seis caras cuadradas están en un plano, dispuestas en una cruz. Para plegarlo, claro está, necesitamos doblarlo, levantándolo del plano. Del mismo modo, los ocho cubos que forman las caras del hipercubo pueden desplegarse, en forma de cruz, en nuestro espacio de tres dimensiones. Esto es lo que nos muestra Dalí. Nuestra dificultad estará en plegarlo. Para hacerlo, necesitamos una nueva dimensión espacial.

Podemos proceder de modo similar, utilizando herramientas matemáticas, para construir un mundo cuadridimensional poblado de figuras geométricas. Por ejemplo, el análogo de una esfera se denomina hiperesfera. Podemos concebir, al igual que el cuadrado de Planilandia, cómo una de ellas cruza súbitamente nuestro universo.  Aparecería en nuestra habitación como un punto que se va inflando en una esfera, creciendo hasta llegar a un tamaño máximo, para luego comenzar a contraerse hasta desaparecer.